РКМ 4 Алгебра 10 класс

РКМ 3 Алгебра 10 класс

РКМ 2 Алгебра 10 класс

РКМ1 алгебра-10

Попробуйте и вы...

Предлагаю вам очень интересное видео по практической работе с палочками, горошинами и созданию из них новых фигур. Видео называется Математика После просмотра попробуйте и вы сделать так же. Приятного просмотра. Источник http://www.youtube.com/watch?v=bqRr8xX_nEc&feature=youtu.be

Последовательности чисел в задачах С6 ЕГЭ (из электронной версии журнала "Математика" январь 2015, авт. А. Прокофьев, А. Корянов)

Задачи для самостоятельного решения 1. (Пробный ЕГЭ-2012, Москва) Дана последовательность натуральных чисел, причем каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 163. а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности? б) Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности? 2. (Пробный ЕГЭ-2012, СПб.) На доске написано число 8. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске. (Таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две — третье и т.д.) а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012? б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел равняться 72? в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 832? 3. (ЕГЭ-2010) Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? 4. (Всероссийская математическая олимпиада, 9-й класс, 1988/1989) Какое наименьшее неотрицательное число можно получить путем расстановки перед числами 1, 2, 3, …, 1988, 1989 знаков «+» и «–» и последующего выполнения указанных операций? 5. На доске написаны числа: а) 1, 2, 3, …, 2011; б) 1, 2, 3, …, 2013. Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать разность — неотрицательное число. Можно ли добиться того, чтобы все числа были нулями? 6. (Турнир городов, 10–11-е классы, 1998) а) На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97? б) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, … , 210. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно? 7. (Московская математическая олимпиада, 9-й класс, 1996) Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат: а) при n = 9, б) при n = 11, в) при n = 1996? 8. Набор состоит из тридцати девяти натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 6. Среднее арифметическое любого тридцати одного числа этого набора меньше 2. а) Может ли такой набор содержать ровно шестнадцать единиц? б) Может ли такой набор содержать менее шестнадцати единиц? в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 32. 9. (Пробный ЕГЭ-2012) Числа от 2 до 11 записаны в строчку в некотором порядке. Всегда ли можно вычеркнуть несколько чисел так, чтобы осталось: а) три числа в порядке возрастания или в порядке убывания; б) пять чисел в порядке возрастания или в порядке убывания; в) четыре числа в порядке возрастания или в порядке убывания? 10. (МИОО, 2012) В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076. а) Может ли в последовательности быть три члена? б) Может ли в последовательности быть четыре члена? в) Может ли в последовательности быть меньше 2076 членов? 11. (МИОО, 2014) По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель. а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1? б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны? в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться? 12. (ЕГЭ-2013) Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет записан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10. а) На доске выписан набор –8, –5, –4, –3, –1, 1, 4. Какие числа были задуманы? б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно два раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано? в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа? 13. (Пробный ЕГЭ-2014, ФИПИ) На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа разные, и каждое из них не больше 2013. Известно, что никакое из написанных чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 11. а) Приведите пример такого набора из девяти чисел. б) Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе? в) Найдите наибольшую возможную сумму чисел такого набора. 14. (МИОО, 2011) Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1344 и а) три; б) четыре; в) пять из них образуют геометрическую прогрессию? 15. (МИОО, 2011) Метеоролог вводит в компьютер измерения температуры воздуха. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За все время наблюдений температура наблюдалась выше 20 C, но ниже 26 C. Всего метеоролог ввел 22 измерения, но из-за усталости и плохой клавиатуры один раз вместо клавиши с запятой метеоролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не ввел знак запятой в записи десятичной дроби. После упорядочивания данных получился ряд из 22 чисел, начинающийся числами 21,3; 21,7; … Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 149,53. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 23,28. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил метеоролог. 16. (ЕГЭ-2012) Каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9, 10, –11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9, 10, –11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? 17. Дана бесконечная последовательность чисел x1, x2, x3, …, xk, … (k  N), в которой при каждом k член последовательности xk является корнем уравнения x2 – 2k + 1 • x + 4k = 0. а) Найдите наименьший порядковый номер k члена последовательности такой, что в десятичной записи числа xk используется более пяти цифр. б) Укажите наименьшее натуральное число N, среди делителей которого содержится ровно 10 членов данной последовательности. в) Существует ли такое натуральное число n, что сумма n идущих подряд членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности? г) Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом? 18. (МИОО, 2010) Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, …, aN и b1 = 9, b2 = 14, …, bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии. 19. («Ломоносов-2010») Числа 54 и 128 являются членами геометрической прогрессии. Найдите все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии. 20. (ЕГЭ-2011) Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231. а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трех членов? в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? 21. (Московская математическая регата, 10-й класс, 2001/2002) Пусть {an} — арифметическая прогрессия, a1 = 1 Известно, что сумма S2002 наибольшая среди всех сумм Sn. Какие значения может принимать разность прогрессии? 22. (Пробный ЕГЭ-2014, ФИПИ) В ряд выписаны квадраты всех натуральных чисел, начиная с 1. Каждое число заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили так же и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел. а) Найдите пятнадцатое число получившейся последовательности. б) Найдите сумму первых 550 чисел получившейся последовательности. в) Сумма m идущих подряд чисел получившейся последовательности равна 3074. Чему может равняться m? 23. (МИОО, 2014) Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2014, а разность равна 13. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили так же и действовали так до тех пор, пока не получили последовательность однозначных чисел. а) Найдите тысячное число получившейся последовательности. б) Найдите сумму первой тысячи членов получившейся последовательности. в) Чему может равняться наибольшая сумма 1010 членов получившейся последовательности, идущих подряд? 24. (МИОО, 10-й класс, 2010) Натуральные числа a, b, c образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причем все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное значение b. 25. (ЕГЭ-2012) Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3. а) Может ли в этой прогрессии быть три числа? б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии? 26. (ЕГЭ-2014) Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел. а) Может ли S равняться 8? б) Может ли S равняться 1? в) Найдите все значения, которые может принимать S. 27. (МИОО, 2014) Несколько различных натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют цифры 1 и 9, составляют арифметическую прогрессию. а) Может ли сумма всех членов такой прогрессии быть равной 298? б) Может ли в прогрессии быть 35 членов? в) Покажите, что если разность этой прогрессии не меньше 4, но не больше 8, то количество членов не превосходит 18. г) Приведите пример, когда разность арифметической прогрессии не меньше 4, но не больше 8, а количество членов равно 18. 28. (МИОО, 2014) Даны n  5 различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию. а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 30? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 2014? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 144. 29. (ФЦТ, 2012) Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел. а) Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел? б) Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел? в) Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел. Ответы и указания 1. а) 3, например: 27, 17, 119; б) 39, например: 7, 1, 7, 1, …, 7, 1 (19 пар) и 11. 2. а) Нет; б) да; в) 8 минут. 3. 1 и 1045. 4. 1. 5. а) Можно; б) нельзя. Указание. а) Числа 2010 и 2011 заменяем разностью 1. На втором шаге берем новую единицу и старую и заменяем их нулем. Остались числа от 2 до 2009, их 2008 чисел. Начиная с начала ряда, берем два соседних числа и заменяем их разностью, то есть 1. Получим 1004 единицы, каждую пару единиц заменяем нулем. Получим 502 нуля. б) Инвариантом в данной задаче является нечетность суммы записанных чисел. Первоначальная сумма 1 + 2 + 3 + … + 2013 = 1007 • 2013 — нечетное число. Заметим, что a + b = (a – b) + 2b, то есть сумма и разность одних и тех же чисел имеют одинаковую четность, следовательно, сумма чисел после любого числа проделанных операций будет нечетной и не будет равна нулю. 6. а) Может; б) может получиться любое нечетное число между 1 и 210 – 1. Указание. Если нужно получить число меньше 29, то на первом шаге нужно сделать вычитание 210 – 29 . В противном случае нужно число 210 использовать только на последнем шаге. 7. а) Может; б) не может; в) может. 8. а) Да; б) нет. 9. а) Да; б) нет; в) да. 10. а) Нет; б) нет; в) да. 11. а) Да, например: 9, 10, 11, 12, 13, 18, 17, 16, 15, 14; б) нет; в) 7. Указание. б) Показать, что попарно различных наибольших общих делителей семь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9. в) Пример расстановки чисел: 9, 15, 10, 11, 17, 13, 14, 16, 12, 18. 12. а) –5, –3, 4; б) 4; в) нет. 13. а) 12; 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89; 100; б) 10; в) 19625. 14. а) Да; б) да; в) нет. 15. Метеоролог ошибся в числе 25,9, пропустив запятую, и в числе 23,9, поставив вместо запятой нуль. 16. а) Нет; б) нет; в) 4. Указание. а) Если произведение равно 0, то хотя бы одна сумма чисел на карточке равна 0. Но это невозможно, так как среди десяти данных чисел нет противоположных. Поэтому все произведение не может равняться нулю. б) Среди десяти данных чисел шесть нечетных. Значит, на какой-то карточке записано два нечетных числа и их сумма четная. Поэтому все произведение четно и не может равняться 1. в) Среди десяти данных чисел шесть нечетных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечетные числа и сумма чисел на каждой из этих карточек четная. Произведение делится на 4 при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; –2); (–2; 1); (–3; 4); (4; –3); (–5; 7); (7; –5); (–8; 9); (9; –8); (10; –11); (–11; 10). 17. а) 17; б) 1024; в) нет; г) да. 18. N = 49, M = 29. 19. 54, 72, 96, 128. 20. а) Не может; б) может, например: 1067; 97; 1067; в) наибольшее количество членов 371. 21. 22. а) 9; б) 3112; в) 542; 543. 23. а) 7; б) 5002; в) 5054. 24. b = 372 = 1369, при этом a = 232 = 529, c = 472 = 2209. 25. а) Да; б) 4. 26. а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме 1 и –1. 27. а) Да; б) да; г) a1 = 20, d = 4. 28. а) Да, например: 4, 5, 6, 7, 8; б) 62; в) 6, 8, 9, 12. б) Указание. Рассмотреть неравенство в) Исследовать уравнение (2a1 + (n – 1)d) • n = 288 = 25 • 32. 29. а) Да; б) нет; в) 11.

ФГОС: готовимся и внедряем

ФГОС: готовимся и внедряем

  «Великая цель образования

это не знания, а действия»

Гербер Спенсер

Жизнь так устроена, что в ней постоянно все меняется, развивается, обновляется. Не стоит на месте и образование. Хотя часто задаешься вопросом: «Куда же на самом деле движется наше образование?» За несколько  последних лет там произошло столько изменений, что диву даешься.

   Уже стало привычным и использование сочетания  «ФГОС». Множественные курсы повышения квалификации, педсоветы, совещания, семинары  погружают   нас все глубже в эту тему. И мы понимаем, что нужно работать как-то по – другому. А вот действительно ли так уж и по- другому? Или новое – это хорошо забытое старое? История человечества развивается по спирали, с каждым новым витком поднимаясь все выше. Так и ФГОС, по нашему мнению, это новый, более высокий виток в образовании. И если учителя начальных классов уже внедряют на практике ФГОС, то мы, учителя среднего звена, только готовимся, присматриваемся, пробуем вводить какие – то новые элементы. Мы полностью согласны с тем, что в современных условиях должен быть системно- деятельностный подход  в обучении. Именно включая ребенка в деятельность, происходит его заинтересованность. А если ему интересно, то он начинает искать, анализировать, отбирать нужную информацию, находить контакт с другими людьми, думать.  Таким образом, ученик начинает действовать, добывать самостоятельно знания. 

   Но разве до внедрения ФГОС мы не использовали технологии развивающего обучения, критического мышления (стадии: вызов, осмысление, рефлексия), разве не использовали связь с жизнью, другими учебными предметами, не опирались на передовые опыты лучших педагогов, не развивали ЗУН, не включали детей в деятельность?  Многое уже было. Но, конечно, внедрение ФГОС вносит свои коррективы в духе времени. Нам необходимо развивать разносторонне развитую личность, конкурентоспособную, самостоятельную, ответственную, коммуникативную, умеющую принимать обоснованные, важные решения, умеющую работать в команде и работать на перспективу. Меняется не только деятельность ученика, но, в первую очередь, деятельность педагога. Если учитель «пропустит» через  себя понимание  необходимости изменить свое отношение к подготовке урока,  вовлечению детей в добывании знаний, то уроки и внеклассная работа поднимутся на новый уровень. А это сделать педагогу сложнее всего. Ведь не зря бытует мнение, что учителя  достаточно консервативны. Конечно, легче прийти на урок и провести его в традиционной форме, чем тщательно продумать каждый элемент урока: создать правильную мотивацию, увидеть проблему,  поставить цели и задачи, продумать виды и формы деятельности учеников и самого себя, разработать критерии оценивания, провести рефлексию и т.д. Дети получают свободу выбора, возможность высказывать и отстаивать свое мнение, сравнивать, работать в группах, оценивать себя и других, т.е быть активными участниками всего процесса.  И как показывает наш личный опыт, такие уроки и мероприятия ученикам нравятся и запоминаются больше всего.

   Большую роль во внедрении ФГОС играет проектная деятельность. Именно работа над проектом, исследование проблемы с разных сторон, работа в команде, умение договариваться, добиваться результата воспитывают качества человека 21 века. Сложнее всего дело обстоит с оцениванием. Именно эта сторона остается самой «западающей» и сложной. На ум приходит то, как учили раньше детей рецензировать ответ товарища: полный или неполный ответ, раскрыта ли тема, нет ли фактических ошибок, что понравилось, что не понравилось  и т.д. Если перевести это на современный язык, то это тоже один из видов оценивания, причем очень даже неплохой. Во время проведения проекта важно «погружение», введение учеников в тему. Именно на этом этапе зарождается интерес, возникают вопросы, которые решаются как поставленные проблемы исследований. И здесь  педагог должен уметь проявить гибкость. Возможно, что дети выдвинут свои новые идеи, найдут новые направления работы, по интересам создадут команды, внесут свои коррективы. И это здорово! Дети начали думать!!! Процесс пошел. Роль учителя - составить вместе с детьми план проекта, хотя сам педагог задолго до начала проекта уже все «прокручивает», продумывает, составляет. Работа в проекте дает результаты, если дети работают с желанием, «не из-под палки», если дети сами хотят научиться чему-то новому, попробовать свои силы. И опять же понятно, насколько важна здесь роль учителя. Учитель выступает здесь в роли заводилы, направляющего учеников на работу, консультанта, помощника. Работа с критериями оценивания на разных этапах проекта позволяет детям учиться самим себя оценивать, а также оценивать работу в группах и результаты своего труда. Выполняя первые проекты по математике «Знакомство с пропорциями», «Знакомство с геометрией» казалось, все было хорошо, но позднее, когда мы начали работать с оцениванием, то работа в проектах стала более осмысленной и конкретной, развивающей (проект «Математические забавы», «Загадочное число «Пи»).

   Однако, внедрение ФГОС – это проблема не только учителя, но и целого аппарата ученых, специалистов разных уровней, методистов. Нужна крепкая база. Поднимая планку в формировании УУД, мы не учитываем, что дети стали другими. Мы имеем в виду не только то, что многие из них с трудом осваивают школьную программу, но и то, что с каждым годом, например, растет число леворуких детей. А это тоже работа для специалистов. Кроме того, обязательно нужно обращать  внимание на работу с высокомотивированными учащимися. Таким «звездочкам», от природы обладающим острым умом, быстро надоедают однообразные стандартные задания, поэтому при работе с этими детьми нужно давать им возможность попробовать свои силы в новой, неклассической ситуации, когда владения теоретическим материалом недостаточно для успеха. Здесь необходим простор для творчества, нестандартного мышления и «полета фантазии». При этом, конечно, нужно учесть возрастные особенности учащихся и их ведущую деятельность в этот период.

   В итоге, учитель, внедряющий ФГОС в свою деятельность, должен четко понимать, какие цели и задачи он преследует в процессе своей работы, какие формы и виды деятельности должен применять для достижения поставленных целей, каким образом вовлекать класс в деятельность и как оценивать результат проделанной ими работы. В этом смысле учитель выступает в роли наставника, друга, психолога. Изменяющийся с колоссальной скоростью мир заставляет меняться и его. Постоянный поиск, любовь к детям и позитивный настрой — без этого внедрение ФГОС невозможно осуществить никаким образом. Новые веяния, методики, направления сделают работу учителя, безусловно, креативной, творческой и интересной.