среда, 17 октября 2012 г.
Сложение положительных и отрицательных чисел
вторник, 9 октября 2012 г.
Математический конкурс "Волшебный сундучок"
Конкурс «Волшебный сундучок» – это заочный конкурс по математике для
школьников, который проводится Электронной школой совместно с Московским
физико-техническим институтом этой осенью.
Цель конкурса - дать ребятам возможность опробовать свои силы, проявить себя, подготовиться к другим математическим конкурсам и олимпиадам.
Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить через Интернет. На решение задач отводится 8 дней.
Задания конкурса отличаются как по сложности, так и по способу оформления. Для задач первой части достаточно выбрать правильный ответ из числа предложенных. Для второй части необходимо привести подробные пояснения и обоснования хода решения. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность рассуждений, полноту решения и его оригинальность.
Победители конкурса будут награждены дипломами и призами. Все участники получат электронный сертификат участника.
Участие в конкурсе требует предварительной регистрации на сайте конкурса и оплаты оргвзноса. У учителей и родителей есть возможность зарегистрировать своих учеников и детей, а также загрузить их работу.
В прошлом конкурсе Электронной школы «Золотой ключик» 2012 приняли участие более 10 тысяч школьники из 755 населенных пунктов в 75 регионах России. 600 призеров получили дипломы 1, 2 и 3 степеней, похвальные грамоты.
Они доступны всем зарегистрированным участникам. Ждать пока будет оплачен оргвнос - нет необходимости. Можно сразу после регистрации приступать к решению задач.
Горячая линия конкурса: +7 (495) 504-36-16 (с 10 до 17 по Москве ежедневно)
Категория
Образование >
Дополнительное
Дата создания
28 сентября 2012
Участники
26428
Цель конкурса - дать ребятам возможность опробовать свои силы, проявить себя, подготовиться к другим математическим конкурсам и олимпиадам.
Ученикам 4-9 классов предлагаются нестандартные интересные задачи по математике, которые они могут решить дома, оформить свои решения и отправить через Интернет. На решение задач отводится 8 дней.
Задания конкурса отличаются как по сложности, так и по способу оформления. Для задач первой части достаточно выбрать правильный ответ из числа предложенных. Для второй части необходимо привести подробные пояснения и обоснования хода решения. Подводя итоги, жюри будет учитывать обоснованность рассуждений, полноту решения и его оригинальность.
Победители конкурса будут награждены дипломами и призами. Все участники получат электронный сертификат участника.
Участие в конкурсе требует предварительной регистрации на сайте конкурса и оплаты оргвзноса. У учителей и родителей есть возможность зарегистрировать своих учеников и детей, а также загрузить их работу.
В прошлом конкурсе Электронной школы «Золотой ключик» 2012 приняли участие более 10 тысяч школьники из 755 населенных пунктов в 75 регионах России. 600 призеров получили дипломы 1, 2 и 3 степеней, похвальные грамоты.
Важные даты:
- 6 октября в 12:00 по московскому времени задания «Волшебного сундучка» стали доступны всем участникам конкурса в рабочем кабинете.
- Прием заданий и оплата оргвзносов заканчивается 14 октября в 16:00 по московскому времени.
Задания конкурса опубликованы!
Они доступны всем зарегистрированным участникам. Ждать пока будет оплачен оргвнос - нет необходимости. Можно сразу после регистрации приступать к решению задач.
Горячая линия конкурса: +7 (495) 504-36-16 (с 10 до 17 по Москве ежедневно)
вторник, 29 мая 2012 г.
Веселая математика летом
Он грызун не очень мелкий,
Ибо чуть побольше белки.
А заменишь «У» на «О» -
Будет круглое число.
Я приношу с собою боль,
В лице большое искаженье.
А «Ф» на «П» заменишь коль,
То сразу превращусь я в знак сложенья.
Коль в треугольнике угол прямой,
Я называюсь его стороной.
Букву последнюю мне поменять -
Буду, как ветер, вас по морю мчать.
С буквой «Р» - с овцы стригут,
В нити прочные прядут.
А без «Р» - нужна для счёта,
Цифрой быть - её работа.
Число я меньше десяти.
Меня тебе легко найти.
Но если букве «Я» прикажешь рядом встать,
Я всё: отец, и ты, и дедушка, и мать.
Читаем мы направо смело -
Геометрическое тело.
Прочтём же справа мы налево -
Увидим разновидность древа.
Рождаюсь на мебельной фабрике я
И в каждом хозяйстве нельзя без меня.
Отбросишь последнюю букву мою -
Названье большому числу я даю.
Я с «Л» смягчённым - под землёй,
Бываю каменный и бурый.
А с твёрдым - в комнате твоей
И в геометрии фигура.
С «Д» - давно я мерой слала,
С «Т» - уж нету выше балла.
Счастливой цифру ту считают,
При счете её применяют.
А «М» вот на «Т» поменяли -
И рыбы немало поймали.
С «К» - для продуктов годна,
С «М» - для сложенья нужна.
С «Ш» - для счёта я нужна,
С «М» - обидчикам страшна!
С глухим шипящим -
Кругл, как мячик.
Со звонким -
Как огонь, горячий.
С глухим шипящим я -
Числительное.
Со звонким - имя
Существительное.
С «К» - фигура без углов,
С «Д» - дружить с тобой готов.
С «В» - отрезок не простой -
С направлением, с длиной.
С «С» же станет частью круга,
Что дуга стянула туго.
Геометрическое тело,
А в нём вода вскипела.
Первый слог - нота,
Второй слог - нота.
А в целом -
Только часть чего-то.
Игра - в ней лошади нужны,
К игре проступок пристегни.
И называй, дружочек, смело
То, что давно уже не цело.
Предлог стоит в моём начале,
В конце же - загородный дом.
А целое мы все решали
И у доски, и за столом.
Две ноты - два слога,
А слово - одно,
И меру длины
Означает оно.
Вначале - двойка. Далее - мужчина,
Высокого он титула и чина.
А слово целиком - обозначенье,
Дробящее на дозы обученье.
Первую в школе все изучают,
Ну а второй из двустволки стреляют.
Третью исполнят нам два барабана
Иль каблуки отобьют её рьяно.
Первая - такой многоугольник,
Знать который должен каждый школьник.
На второй гимнасты выступают,
Их она под купол поднимает.
Первую находим, вычисляем,
Много формул для неё мы знаем.
На второй же митинги, парады,
Погулять по ней всегда мы рады.
Первый можно завязать,
Если галстук папин взять.
А второй, словарь листая, -
Мера скорости морская.
Пользуясь подсказками в скобках, отгадайте сами слова и названия геометрических фигур, которые в них «вписались».
◘ ЗА _ _ _ _ _ (Процесс заострения предмета).
◘ ВЫ _ _ _ _ _ (Конструктивный элемент одежды).
◘ ФОР _ _ _ _ _ (Часть окна).
◘ ЛАС _ _ _ _ _ (Птица).
◘ КИС _ _ _ _ _ (Инструмент художника).
◘ КАР _ _ _ _ _ (Жёлтая, электронная, телефонная...).
понедельник, 12 марта 2012 г.
Математики - юбиляры 2012 года
525 лет
Михаэль ШТИФЕЛЬ (19 апреля 1487 – 19 апреля 1567)
Немецкий математик и богослов. В работе «Полная арифметика» (1544) дал теорию отрицательных чисел и сформулировал правило деления на дробь. Ввел понятия «корень» и «показатель степени», впервые рассмотрел дробный и нулевой показатель степени. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов. Высказал идею, которая позже легла в основу теории логарифмов: сопоставить геометрическую и арифметическую прогрессии, благодаря чему умножение можно заменить сложением. Это помогло И. Бюрги и Дж. Неперу создать логарифмические таблицы и разработать логарифмические таблицы и разработать логарифмические вычисления.
500 лет
Герард МЕРКАТОР (5 марта 1512 – 2 декабря 1594)
Фламандский картограф и математик. Разработал математически обоснованные принципы составления географических карт, цилиндрической равноугольной проекцией (проекция Меркатора, введена в 1569) пользуется до настоящего времени при составлении морских и аэронавигационных карт. Меркатор вычислил координаты магнитного полюса Земли и первым указал на его несовпадение с географическим полюсрм.
425 лет
Иоахим ЮНГ (22 октября 1587 – 3 октября 1657)
Немецкий математик и логик. Автор формулы, выражающей объем тетраэдра через длины ребер. Пытался построить логику как математическое исчисление. Он установил отличие цепной линии от параболы (в 1646 г. это обосновал Х. Гюйгенс), доказал, что форму параболы имеет подвешенная за два конца нить, на которую действует нагрузка, равномерно распределенная вдоль горизонтали. Подчеркивал, что математика есть основа всех научных дисциплин. Один из идеологов реформы математического образования в Германии.
325 лет
Роберт Симсон (14 октября 1687 – 1 октября 1768)
Шотландский математик. Пропагандировал геометрические методы древних ученых. Его «О конических сечениях» была выдержана в считавшемся устаревшим стиле Аполлония Пергского. Именно в этой работе впервые были помещены знаменитые теоремы Дезарга и Паскаля. В геометрии известна прямая Симсона, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности, описанной вокруг треугольника, на его стороны.
175 лет
Николай Васильевич Бугаев (14 сентября 1837 – 11 июня 1903)
Русский математик. Один из основателей Московского математического общества, а также печатного органа этого общества – журнала «математический сборник». В педагогических работах Бугаев пропагандировал учет индивидуальных особенностей учащихся, деятельностный подход к обучению, преемственность между различными уровнями математического образования, потенциал эстетического и эмоционального воздействия математики на мотивацию учащихся и др. Его перу принадлежат учебные руководства для средней школы по математики, алгебре и геометрии. Наибольшей популярностью пользовались его задачники по арифметике для начальной школы.
Александр Николаевич Коркин (3 марта 1837 – 1 сентября 1908)
Русский математик. Вместе с П.Л. Чебышевым сыграл большую роль в организации Петербургской математической школы, воспитав поколение видных отечественных математиков. Его непосредственными учениками был А.Н. Крылов, Д.А. Граве, И.И. Иванов, К.А. Поссе, Д.Д. Мордухай-Болтовский и др.
150 лет
Давид Гильберт (23 января 1862 – 14 февраля 1943)
Немецкий математик-энциклопедист. В 1900 г. на Втором международном математическом конгрессе сформулировал знаменитый список из 23 нерешенных проблем математики, которые явились точкой приложения усилий математиков на протяжении всего XX в. Имя Гильберта можно встретить практически во всех разделах современной математики XX в.: Э. Цермело, Г. Вейль, Дж. Нейман, Р. Курант, Г. Штейнгауз и др. Он был общепризнанным мировым лидером математиков с середины 20-х годов XX в. Гильберт был уверен в неограниченной силе человеческого разума, убежден в единстве математической науки и естествознания.
125 лет
Сриниваза Айенгар Рамануджан (22 декабря 1887 – 26 апреля 1920)
Индийский математик. Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Сфера его интересов распространялась на магические квадраты, квадратуру круга, бесконечные ряды, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции (ныне носящие его имя), определенные интегралы, эллиптические и модулярные функции.
Признанный в мире специалист по цепным дробям. Самым замечательным результатом в этой области является формула Рамануджана, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точностью равна выражению, в котором присутствует произведение е на п.
125 лет
Дьердь Пойя (13 декабря 1887 – 7 сентября 1985)
Венгерский и американский математик. Пойя много работал со школьными учителями математики и внес большой вклад в популяризацию науки. На русском языке известны его книги: «Задачи и теоремы анализа», «Математика и правдоподобные рассуждения», «Как решить задачу?», «Математическое открытие».
125 лет
Яков Семенович Дубнов (30 ноября 1887 – 13 декабря 1957)
Русский математик и методист. С 1918 г. занимался вопросами перестройки школьного курса математики, работал в различных вузах Москвы. Член правления секции средней школы Московского математического общества, много лет сотрудничал в журнале «Математика в школе», инициировал создание сборника «Математическое просвещение». Написал ряд учебных пособий, среди которых большое значение для перестройки преподавания в средней школе имеют работы «Содержание и методы преподавания математического анализа в средней школе» (1960), «Беседы о преподавании математики» (1965) и др.
125 лет
Владимир Иванович Смирнов (10 июня 1887 – 11 февраля 1974)
Русский математик, выдающийся педагог и организатор науки, в течение 20 лет возглавлял Институт математики и механики Санкт-Петербургского университета, ныне носящий его имя; был президентом Ленинградского математического общества; членом редколлегий ряда специальных математических журналов и издательств; председателем Эйлеровской комиссии. Автор популярного пятитомного «Курса высшей математики» (1924).
100 лет
Александр Данилович Александров (4 августа 1912 – 27 июля 1999)
Русский математик и физик. Основатель советской школы геометрии. Открыв методы изучения геометрических свойств поверхности, расширил область геометрических исследований и решил некоторые классические проблемы теории поверхностей, доказал фундаментальные теоремы о выпуклых многогранниках и предложил новый, синтетический метод доказательства теорем существования. Автор монографий, научных статей, учебников для школ и вузов, публицистических статей, воспоминаний об ученых и философских эссе о моральной ценности науки.
Последним аспирантом А.Д. Александрова являлся Г. Перельман, который в 2002 г. доказал знаменитую теорему Пуанкаре.
100 лет
Борис Владимирович Гнеденко (1 января 1912 – 27 декабря 1995)
Русский математик, крупный ученый, блестящий педагог и популяризатор науки. Его «Курс теории вероятностей» выдержал несколько десятков изданий, переведен на многие языки и до сих пор активно используется, а «очерки истории математики в России» - одно из первых полных исследований по истории математики в нашей стране. Соавтор первого в нашей стране учебника по программированию (1961). Уделял большое внимание вопросам преподавания: руководил семинарами по программированному обучению, по вопросам преподавания в средней школе; был председателем секции теории вероятностей и математической статистики и секции средней школы Московского математического общества; принимал активное участие в издании журнала «Математика в школе».
75 лет
Владимир Игоревич Арнольд (12 июня 1937 – 3 июня 2010)
Русский математик, один из самых известных математиков в мире и самый цитируемый российский ученый (2009). Будучи учеником А.Н. Колмогорова, в 20-летнем возрасте решил тринадцатую проблему Гильберта.
Автор многочисленных научно-популярных работ, учебных пособий для учащихся и учителей математики.
75 лет
Игорь Фёдорович Шарыгин (13 февраля 1937 - 12 марта 2004)
Русский математик и педагог. Специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки. Автор учебников, задачников и методических пособий для средней школы. Член редколлегии журнала «Квант», автор ряда статей и выступлений о кризисе образования в России. С 2005 г. ежегодно для школьников старших классов проводится Всероссийская олимпиада по геометрии им. И.Ф. Шарыгина.
Михаэль ШТИФЕЛЬ (19 апреля 1487 – 19 апреля 1567)
Немецкий математик и богослов. В работе «Полная арифметика» (1544) дал теорию отрицательных чисел и сформулировал правило деления на дробь. Ввел понятия «корень» и «показатель степени», впервые рассмотрел дробный и нулевой показатель степени. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов. Высказал идею, которая позже легла в основу теории логарифмов: сопоставить геометрическую и арифметическую прогрессии, благодаря чему умножение можно заменить сложением. Это помогло И. Бюрги и Дж. Неперу создать логарифмические таблицы и разработать логарифмические таблицы и разработать логарифмические вычисления.
500 лет
Герард МЕРКАТОР (5 марта 1512 – 2 декабря 1594)
Фламандский картограф и математик. Разработал математически обоснованные принципы составления географических карт, цилиндрической равноугольной проекцией (проекция Меркатора, введена в 1569) пользуется до настоящего времени при составлении морских и аэронавигационных карт. Меркатор вычислил координаты магнитного полюса Земли и первым указал на его несовпадение с географическим полюсрм.
425 лет
Иоахим ЮНГ (22 октября 1587 – 3 октября 1657)
Немецкий математик и логик. Автор формулы, выражающей объем тетраэдра через длины ребер. Пытался построить логику как математическое исчисление. Он установил отличие цепной линии от параболы (в 1646 г. это обосновал Х. Гюйгенс), доказал, что форму параболы имеет подвешенная за два конца нить, на которую действует нагрузка, равномерно распределенная вдоль горизонтали. Подчеркивал, что математика есть основа всех научных дисциплин. Один из идеологов реформы математического образования в Германии.
325 лет
Роберт Симсон (14 октября 1687 – 1 октября 1768)
Шотландский математик. Пропагандировал геометрические методы древних ученых. Его «О конических сечениях» была выдержана в считавшемся устаревшим стиле Аполлония Пергского. Именно в этой работе впервые были помещены знаменитые теоремы Дезарга и Паскаля. В геометрии известна прямая Симсона, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности, описанной вокруг треугольника, на его стороны.
175 лет
Николай Васильевич Бугаев (14 сентября 1837 – 11 июня 1903)
Русский математик. Один из основателей Московского математического общества, а также печатного органа этого общества – журнала «математический сборник». В педагогических работах Бугаев пропагандировал учет индивидуальных особенностей учащихся, деятельностный подход к обучению, преемственность между различными уровнями математического образования, потенциал эстетического и эмоционального воздействия математики на мотивацию учащихся и др. Его перу принадлежат учебные руководства для средней школы по математики, алгебре и геометрии. Наибольшей популярностью пользовались его задачники по арифметике для начальной школы.
Александр Николаевич Коркин (3 марта 1837 – 1 сентября 1908)
Русский математик. Вместе с П.Л. Чебышевым сыграл большую роль в организации Петербургской математической школы, воспитав поколение видных отечественных математиков. Его непосредственными учениками был А.Н. Крылов, Д.А. Граве, И.И. Иванов, К.А. Поссе, Д.Д. Мордухай-Болтовский и др.
150 лет
Давид Гильберт (23 января 1862 – 14 февраля 1943)
Немецкий математик-энциклопедист. В 1900 г. на Втором международном математическом конгрессе сформулировал знаменитый список из 23 нерешенных проблем математики, которые явились точкой приложения усилий математиков на протяжении всего XX в. Имя Гильберта можно встретить практически во всех разделах современной математики XX в.: Э. Цермело, Г. Вейль, Дж. Нейман, Р. Курант, Г. Штейнгауз и др. Он был общепризнанным мировым лидером математиков с середины 20-х годов XX в. Гильберт был уверен в неограниченной силе человеческого разума, убежден в единстве математической науки и естествознания.
125 лет
Сриниваза Айенгар Рамануджан (22 декабря 1887 – 26 апреля 1920)
Индийский математик. Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Сфера его интересов распространялась на магические квадраты, квадратуру круга, бесконечные ряды, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции (ныне носящие его имя), определенные интегралы, эллиптические и модулярные функции.
Признанный в мире специалист по цепным дробям. Самым замечательным результатом в этой области является формула Рамануджана, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точностью равна выражению, в котором присутствует произведение е на п.
125 лет
Дьердь Пойя (13 декабря 1887 – 7 сентября 1985)
Венгерский и американский математик. Пойя много работал со школьными учителями математики и внес большой вклад в популяризацию науки. На русском языке известны его книги: «Задачи и теоремы анализа», «Математика и правдоподобные рассуждения», «Как решить задачу?», «Математическое открытие».
125 лет
Яков Семенович Дубнов (30 ноября 1887 – 13 декабря 1957)
Русский математик и методист. С 1918 г. занимался вопросами перестройки школьного курса математики, работал в различных вузах Москвы. Член правления секции средней школы Московского математического общества, много лет сотрудничал в журнале «Математика в школе», инициировал создание сборника «Математическое просвещение». Написал ряд учебных пособий, среди которых большое значение для перестройки преподавания в средней школе имеют работы «Содержание и методы преподавания математического анализа в средней школе» (1960), «Беседы о преподавании математики» (1965) и др.
125 лет
Владимир Иванович Смирнов (10 июня 1887 – 11 февраля 1974)
Русский математик, выдающийся педагог и организатор науки, в течение 20 лет возглавлял Институт математики и механики Санкт-Петербургского университета, ныне носящий его имя; был президентом Ленинградского математического общества; членом редколлегий ряда специальных математических журналов и издательств; председателем Эйлеровской комиссии. Автор популярного пятитомного «Курса высшей математики» (1924).
100 лет
Александр Данилович Александров (4 августа 1912 – 27 июля 1999)
Русский математик и физик. Основатель советской школы геометрии. Открыв методы изучения геометрических свойств поверхности, расширил область геометрических исследований и решил некоторые классические проблемы теории поверхностей, доказал фундаментальные теоремы о выпуклых многогранниках и предложил новый, синтетический метод доказательства теорем существования. Автор монографий, научных статей, учебников для школ и вузов, публицистических статей, воспоминаний об ученых и философских эссе о моральной ценности науки.
Последним аспирантом А.Д. Александрова являлся Г. Перельман, который в 2002 г. доказал знаменитую теорему Пуанкаре.
100 лет
Борис Владимирович Гнеденко (1 января 1912 – 27 декабря 1995)
Русский математик, крупный ученый, блестящий педагог и популяризатор науки. Его «Курс теории вероятностей» выдержал несколько десятков изданий, переведен на многие языки и до сих пор активно используется, а «очерки истории математики в России» - одно из первых полных исследований по истории математики в нашей стране. Соавтор первого в нашей стране учебника по программированию (1961). Уделял большое внимание вопросам преподавания: руководил семинарами по программированному обучению, по вопросам преподавания в средней школе; был председателем секции теории вероятностей и математической статистики и секции средней школы Московского математического общества; принимал активное участие в издании журнала «Математика в школе».
75 лет
Владимир Игоревич Арнольд (12 июня 1937 – 3 июня 2010)
Русский математик, один из самых известных математиков в мире и самый цитируемый российский ученый (2009). Будучи учеником А.Н. Колмогорова, в 20-летнем возрасте решил тринадцатую проблему Гильберта.
Автор многочисленных научно-популярных работ, учебных пособий для учащихся и учителей математики.
75 лет
Игорь Фёдорович Шарыгин (13 февраля 1937 - 12 марта 2004)
Русский математик и педагог. Специалист по элементарной геометрии, популяризатор науки. Автор учебников, задачников и методических пособий для средней школы. Член редколлегии журнала «Квант», автор ряда статей и выступлений о кризисе образования в России. С 2005 г. ежегодно для школьников старших классов проводится Всероссийская олимпиада по геометрии им. И.Ф. Шарыгина.
четверг, 1 марта 2012 г.
Готовимся к ЕГЭ. Задача В10 - вероятность
Во многих задачах можно выписать все элементарные события эксперимента
Пример 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Леша.
Решение.
Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля) и (Леша).
Общее число элементарных событий N равно 4.
Событию А ={жребий пал на Лешу} благоприятствует только одно элементарное событие (Леша).
Поэтому N(A) = 1. Тогда Р(А) = N(A)/N = ¼ = 0,25
Ответ: 0,25
Пример 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того ,что решка выпадет ровно 1 раз.
Решение. Орел обозначим буквой О. Решкой – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие равновозможные элементарные исходы: ОО, ОР, РО, РР. Значит, N = 4. Событию А = {выпала ровно одна решка} благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N(A) = 2. Тогда Р(А) = N(A)/N = 2/4 = 0,5.
Пример 3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков.
Решение.
Элементарный исход в этом опыте - пара чисел। Первое число выпадает на первой кости, а второе – на второй। Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы результату второго броска. Всего элементарных событий N = 36.
Закрасим ячейки, где сумма равна 6. Таких ячеек 5. Значит, Событию А = {сумма равна 6} благоприятствует пять элементарных исходов, т.е. N(A) = 5. Поэтому PA) = N(A)/N = 5/36
Ответ: 5/36।
В следующих задачах явно выписывать все элементарные исходы сложно, но можно достаточно легко подсчитать их количество.
Пример 4. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N = 1000.
Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствует 1000 – 7 = 993 исхода. Поэтому N(A) = 993 исхода. Тогда
Р(А) = N(A)/N = 993/1000 = 0,993.
Ответ: 0,993.
Пример 5. В группе иностранных туристов 51 человек, среди них два француза. Для посещения маленького музея группу случайным образом делят на три подгруппы, одинаковые по численности. Найдите вероятность того, что французы окажутся в одной подгруппе.
Решение.
В каждой подгруппе 17 человек। Присвоим французам номера - первый и второй. Будем считать, что первый француз уже занял место в какой – то подгруппе (назовем ее подгруппа А). Нужно найти вероятность того, что второй француз оказался в той же подгруппе А. Для второго француза остается N = 50 мест, из них
Для второго француза остается N =50 мест, из них в подгруппе А N(А) = 16 мест. Размещение туристов, по условию, случайно, значит, комбинации равновозможны. Поэтому вероятность того, что второй турист попадает в подгруппу А, равна
Р(А) = N(А) / N = 16/50 = 0,32.
Ответ: 0,32
Пример 6. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Определим событие: А = {выбранная ручка пишет хорошо}.
Известна вероятность противоположного события: Р( ) = 0,05.
Используем формулу вероятности противоположного события:
Р(А) = 1 - Р( ) = 1 – 0,05 = 0,95.
Ответ: 0,95.
Пример 7. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение. В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события {попал при первом выстреле}, {попал при втором выстреле} и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что событие А = {попал; попал; попал; промахнулся; промахнулся} имеет вероятность
Р(А) = 0,8 • 0,8 • 0,8 • 0,2 • 0,2 = 0,02048 ~ 0,02
Ответ: 0,02.
Пример 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Леша.
Решение.
Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля) и (Леша).
Общее число элементарных событий N равно 4.
Событию А ={жребий пал на Лешу} благоприятствует только одно элементарное событие (Леша).
Поэтому N(A) = 1. Тогда Р(А) = N(A)/N = ¼ = 0,25
Ответ: 0,25
Пример 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того ,что решка выпадет ровно 1 раз.
Решение. Орел обозначим буквой О. Решкой – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие равновозможные элементарные исходы: ОО, ОР, РО, РР. Значит, N = 4. Событию А = {выпала ровно одна решка} благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N(A) = 2. Тогда Р(А) = N(A)/N = 2/4 = 0,5.
Пример 3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков.
Решение.
Элементарный исход в этом опыте - пара чисел। Первое число выпадает на первой кости, а второе – на второй। Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы результату второго броска. Всего элементарных событий N = 36.
Закрасим ячейки, где сумма равна 6. Таких ячеек 5. Значит, Событию А = {сумма равна 6} благоприятствует пять элементарных исходов, т.е. N(A) = 5. Поэтому PA) = N(A)/N = 5/36
Ответ: 5/36।
В следующих задачах явно выписывать все элементарные исходы сложно, но можно достаточно легко подсчитать их количество.
Пример 4. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.
Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N = 1000.
Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствует 1000 – 7 = 993 исхода. Поэтому N(A) = 993 исхода. Тогда
Р(А) = N(A)/N = 993/1000 = 0,993.
Ответ: 0,993.
Пример 5. В группе иностранных туристов 51 человек, среди них два француза. Для посещения маленького музея группу случайным образом делят на три подгруппы, одинаковые по численности. Найдите вероятность того, что французы окажутся в одной подгруппе.
Решение.
В каждой подгруппе 17 человек। Присвоим французам номера - первый и второй. Будем считать, что первый француз уже занял место в какой – то подгруппе (назовем ее подгруппа А). Нужно найти вероятность того, что второй француз оказался в той же подгруппе А. Для второго француза остается N = 50 мест, из них
Для второго француза остается N =50 мест, из них в подгруппе А N(А) = 16 мест. Размещение туристов, по условию, случайно, значит, комбинации равновозможны. Поэтому вероятность того, что второй турист попадает в подгруппу А, равна
Р(А) = N(А) / N = 16/50 = 0,32.
Ответ: 0,32
Пример 6. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Определим событие: А = {выбранная ручка пишет хорошо}.
Известна вероятность противоположного события: Р( ) = 0,05.
Используем формулу вероятности противоположного события:
Р(А) = 1 - Р( ) = 1 – 0,05 = 0,95.
Ответ: 0,95.
Пример 7. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение. В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события {попал при первом выстреле}, {попал при втором выстреле} и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что событие А = {попал; попал; попал; промахнулся; промахнулся} имеет вероятность
Р(А) = 0,8 • 0,8 • 0,8 • 0,2 • 0,2 = 0,02048 ~ 0,02
Ответ: 0,02.
Подписаться на:
Сообщения (Atom)