Задачи для самостоятельного решения
1. (Пробный ЕГЭ-2012, Москва) Дана последовательность натуральных чисел, причем каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 10, либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 163.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее число членов может быть в этой последовательности?
2. (Пробный ЕГЭ-2012, СПб.) На доске написано число 8. Раз в минуту Вася дописывает на доску одно число: либо вдвое большее какого-то из чисел на доске, либо равное сумме каких-то двух чисел, написанных на доске. (Таким образом, через одну минуту на доске появится второе число, через две — третье и т.д.)
а) Может ли в какой-то момент на доске оказаться число 2012?
б) Может ли в какой-то момент сумма всех чисел равняться 72?
в) Через какое наименьшее время на доске может появиться число 832?
3. (ЕГЭ-2010) Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
4. (Всероссийская математическая олимпиада, 9-й класс, 1988/1989) Какое наименьшее неотрицательное число можно получить путем расстановки перед числами 1, 2, 3, …, 1988, 1989 знаков «+» и «–» и последующего выполнения указанных операций?
5. На доске написаны числа:
а) 1, 2, 3, …, 2011; б) 1, 2, 3, …, 2013.
Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать разность — неотрицательное число. Можно ли добиться того, чтобы все числа были нулями?
6. (Турнир городов, 10–11-е классы, 1998) а) На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?
б) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, … , 210. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?
7. (Московская математическая олимпиада, 9-й класс, 1996) Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат: а) при n = 9, б) при n = 11, в) при n = 1996?
8. Набор состоит из тридцати девяти натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 6. Среднее арифметическое любого тридцати одного числа этого набора меньше 2.
а) Может ли такой набор содержать ровно шестнадцать единиц?
б) Может ли такой набор содержать менее шестнадцати единиц?
в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 32.
9. (Пробный ЕГЭ-2012) Числа от 2 до 11 записаны в строчку в некотором порядке. Всегда ли можно вычеркнуть несколько чисел так, чтобы осталось:
а) три числа в порядке возрастания или в порядке убывания;
б) пять чисел в порядке возрастания или в порядке убывания;
в) четыре числа в порядке возрастания или в порядке убывания?
10. (МИОО, 2012) В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2076.
а) Может ли в последовательности быть три члена?
б) Может ли в последовательности быть четыре члена?
в) Может ли в последовательности быть меньше 2076 членов?
11. (МИОО, 2014) По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно
различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
12. (ЕГЭ-2013) Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет записан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор –8, –5, –4, –3, –1, 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно два раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
13. (Пробный ЕГЭ-2014, ФИПИ) На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа разные, и каждое из них не больше 2013. Известно, что никакое из написанных чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 11.
а) Приведите пример такого набора из девяти чисел.
б) Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?
в) Найдите наибольшую возможную сумму чисел такого набора.
14. (МИОО, 2011) Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1344 и а) три; б) четыре; в) пять из них образуют геометрическую прогрессию?
15. (МИОО, 2011) Метеоролог вводит в компьютер измерения температуры воздуха. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За все время наблюдений температура наблюдалась выше 20 C, но ниже 26 C. Всего метеоролог ввел 22 измерения, но из-за усталости и плохой клавиатуры один раз вместо клавиши с запятой метеоролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не ввел знак запятой в записи десятичной дроби.
После упорядочивания данных получился ряд из 22 чисел, начинающийся числами 21,3; 21,7; …
Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 149,53. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 23,28.
Определите, в каких числах и какие ошибки допустил метеоролог.
16. (ЕГЭ-2012) Каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9, 10, –11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, –2, –3, 4, –5, 7, –8, 9, 10, –11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?
17. Дана бесконечная последовательность чисел x1, x2, x3, …, xk, … (k N), в которой при каждом k член последовательности xk является корнем уравнения
x2 – 2k + 1 • x + 4k = 0.
а) Найдите наименьший порядковый номер k члена последовательности такой, что в десятичной записи числа xk используется более пяти цифр.
б) Укажите наименьшее натуральное число N, среди делителей которого содержится ровно 10 членов данной последовательности.
в) Существует ли такое натуральное число n, что сумма n идущих подряд членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности?
г) Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом?
18. (МИОО, 2010) Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, …, aN и b1 = 9, b2 = 14, …, bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.
19. («Ломоносов-2010») Числа 54 и 128 являются членами геометрической прогрессии. Найдите все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии.
20. (ЕГЭ-2011) Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 2231.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
21. (Московская математическая регата, 10-й класс, 2001/2002) Пусть {an} — арифметическая прогрессия, a1 = 1 Известно, что сумма S2002 наибольшая среди всех сумм Sn. Какие значения может принимать разность прогрессии?
22. (Пробный ЕГЭ-2014, ФИПИ) В ряд выписаны квадраты всех натуральных чисел, начиная с 1. Каждое число заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили так же и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.
а) Найдите пятнадцатое число получившейся последовательности.
б) Найдите сумму первых 550 чисел получившейся последовательности.
в) Сумма m идущих подряд чисел получившейся последовательности равна 3074. Чему может равняться m?
23. (МИОО, 2014) Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2014, а разность равна 13. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили так же и действовали так до тех пор, пока не получили последовательность однозначных чисел.
а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.
б) Найдите сумму первой тысячи членов получившейся последовательности.
в) Чему может равняться наибольшая сумма 1010 членов получившейся последовательности, идущих подряд?
24. (МИОО, 10-й класс, 2010) Натуральные числа a, b, c образуют возрастающую арифметическую прогрессию, причем все они больше 500 и являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное значение b.
25. (ЕГЭ-2012) Рассматриваются конечные непостоянные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, которые не имеют простых делителей, отличных от 2 и 3.
а) Может ли в этой прогрессии быть три числа?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
26. (ЕГЭ-2014) Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.
а) Может ли S равняться 8?
б) Может ли S равняться 1?
в) Найдите все значения, которые может принимать S.
27. (МИОО, 2014) Несколько различных натуральных чисел, в десятичной записи которых отсутствуют цифры 1 и 9, составляют арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех членов такой прогрессии быть равной 298?
б) Может ли в прогрессии быть 35 членов?
в) Покажите, что если разность этой прогрессии не меньше 4, но не больше 8, то количество членов не превосходит 18.
г) Приведите пример, когда разность арифметической прогрессии не меньше 4, но не больше 8, а количество членов равно 18.
28. (МИОО, 2014) Даны n 5 различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 30?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 2014?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 144.
29. (ФЦТ, 2012) Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.
а) Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?
б) Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?
в) Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.
Ответы и указания
1. а) 3, например: 27, 17, 119; б) 39, например: 7, 1, 7, 1, …, 7, 1 (19 пар) и 11.
2. а) Нет; б) да; в) 8 минут.
3. 1 и 1045.
4. 1.
5. а) Можно; б) нельзя. Указание. а) Числа 2010 и 2011 заменяем разностью 1. На втором шаге берем новую единицу и старую и заменяем их нулем. Остались числа от 2 до 2009, их 2008 чисел. Начиная с начала ряда, берем два соседних числа и заменяем их разностью, то есть 1. Получим 1004 единицы, каждую пару единиц заменяем нулем. Получим 502 нуля. б) Инвариантом в данной задаче является нечетность суммы записанных чисел. Первоначальная сумма 1 + 2 + 3 + … + 2013 = 1007 • 2013 — нечетное число. Заметим, что a + b = (a – b) + 2b, то есть сумма и разность одних и тех же чисел имеют одинаковую четность, следовательно, сумма чисел после любого числа проделанных операций будет нечетной и не будет равна нулю. 6. а) Может; б) может получиться любое нечетное число между 1 и 210 – 1. Указание. Если нужно получить число меньше 29, то на первом шаге нужно сделать вычитание 210 – 29 . В противном случае нужно число 210 использовать только на последнем шаге. 7. а) Может; б) не может; в) может. 8. а) Да; б) нет. 9. а) Да; б) нет; в) да. 10. а) Нет; б) нет; в) да. 11. а) Да, например: 9, 10, 11, 12, 13, 18, 17, 16, 15, 14; б) нет; в) 7. Указание. б) Показать, что попарно различных наибольших общих делителей семь: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9. в) Пример расстановки чисел: 9, 15, 10, 11, 17, 13, 14, 16, 12, 18. 12. а) –5, –3, 4; б) 4; в) нет. 13. а) 12; 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89; 100; б) 10; в) 19625. 14. а) Да; б) да; в) нет. 15. Метеоролог ошибся в числе 25,9, пропустив запятую, и в числе 23,9, поставив вместо запятой нуль. 16. а) Нет; б) нет; в) 4. Указание. а) Если произведение равно 0, то хотя бы одна сумма чисел на карточке равна 0. Но это невозможно, так как среди десяти данных чисел нет противоположных. Поэтому все произведение не может равняться нулю. б) Среди десяти данных чисел шесть нечетных. Значит, на какой-то карточке записано два нечетных числа и их сумма четная. Поэтому все произведение четно и не может равняться 1. в) Среди десяти данных чисел шесть нечетных. Значит, хотя бы на двух карточках с обеих сторон написаны нечетные числа и сумма чисел на каждой из этих карточек четная. Произведение делится на 4 при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; –2); (–2; 1); (–3; 4); (4; –3); (–5; 7); (7; –5); (–8; 9); (9; –8); (10; –11); (–11; 10). 17. а) 17; б) 1024; в) нет; г) да. 18. N = 49, M = 29. 19. 54, 72, 96, 128. 20. а) Не может; б) может, например: 1067; 97; 1067; в) наибольшее количество членов 371. 21. 22. а) 9; б) 3112; в) 542; 543. 23. а) 7; б) 5002; в) 5054. 24. b = 372 = 1369, при этом a = 232 = 529, c = 472 = 2209. 25. а) Да; б) 4. 26. а) да; б) нет; в) любые целые значения, кроме 1 и –1. 27. а) Да; б) да; г) a1 = 20, d = 4. 28. а) Да, например: 4, 5, 6, 7, 8; б) 62; в) 6, 8, 9, 12. б) Указание. Рассмотреть неравенство в) Исследовать уравнение
(2a1 + (n – 1)d) • n = 288 = 25 • 32. 29. а) Да; б) нет; в) 11.
